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¿Cómo el cálculo diferencial ha transformado la ciencia?

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El análisis funcional no lineal es una rama de las matemáticas que estudia ecuaciones complejas que no siguen las reglas tradicionales de la “linealidad”. En matemáticas, cuando algo es lineal significa que puedes hacer operaciones de suma y multiplicación sin que cambie la estructura de lo que estás calculando. En el caso de los sistemas no lineales esas operaciones no son tan sencillas, ya que los resultados no son proporcionales, dependen de otros factores haciendo que los cálculos se vuelvan más complicados.

Al respecto, el doctor Carlos García Azpeitia, del departamento de Matemáticas y Mecánica del Instituto de Investigaciones en Matemáticas Aplicadas y en Sistemas (IIMAS) desarrolla herramientas matemáticas que permiten entender y predecir el comportamiento de estos sistemas complejos. Trabajar en análisis no lineal le ha permitido estudiar cómo pequeñas modificaciones pueden provocar resultados inesperados y cómo estos sistemas pueden estabilizarse o, en algunos casos, cambiar drásticamente. Esto puede aplicarse para mejorar la previsión de fenómenos naturales, como las olas gigantes o los terremotos, e incluso optimizar modelos industriales en campos como la ingeniería y la inteligencia artificial.

“Hay bastantes modelos de la física como la mecánica celeste, Condensados de Bose-Einstein –aquellos que describen cómo se comportan los átomos a temperaturas cercanas al cero absoluto, cuando comienzan a moverse en sincronía–, cristales líquidos o dinámica de fluidos, en mi caso, utilizo técnicas avanzadas de matemáticas para describir las propiedades de sistemas de mecánica celeste; es decir, trato de describir el movimiento de los planetas”, explica.

El doctor García Azpeitia comparte que para su investigación utiliza el método de análisis no lineal o funcional en espacios vectoriales de dimensión infinita, el cual describe como un paso más allá del álgebra lineal, que se da en espacios de dimensión vectorial finita. Aunado a ello, junto con sus colegas, usa técnicas de matemáticas avanzadas para describir el movimiento de los planetas y estudiar el problema de los tres cuerpos restringido, enigma que, según él, “ni el propio Newton pudo resolver”.

El reto de toda una comunidad científica

Dentro de la física y las matemáticas existe el problema de “los tres cuerpos”. Este consiste en tratar de entender cómo tres cuerpos celestes que se atraen gravitacionalmente entre sí se mueven a lo largo del tiempo, sobre el tema, el doctor García Azpeitia explica que es posible predecir el movimiento de dos objetos gravitacionales, por ejemplo, la Tierra alrededor del Sol, en este caso se puede encontrar una solución exacta utilizando las leyes de Kepler y la teoría de la gravitación de Newton; sin embargo, cuando se suma un tercer objeto las ecuaciones se vuelven increíblemente complejas, debido a las múltiples fuerzas de atracción que interactúan de forma no lineal.

En el caso de la interacción Sol-Tierra-Luna, se mantiene estable por la fuerza gravitacional que ejerce el Sol sobre nuestro planeta y éste a su vez hacia la Luna; creando así un par de sistemas, en este sentido, el matemático Joseph-Louis Lagrange fue un personaje clave para el estudio del problema de los tres cuerpos al descubrir lo que hoy se conoce como los Puntos de Lagrange.

Según el doctor García Azpeitia, tres cuerpos celestes con masas iguales permanecen en la misma órbita con forma de ocho pero a distintos tiempos. “Gracias a pruebas asistidas con computadora confirmamos la existencia de una familia simétrica de órbitas periódicas en un sistema de coordenadas rotantes que conectan la configuración de Lagrange con la coreografía”, añade.

Trabajos de investigación

Por otro lado, el doctor García Azpeitia durante su doctorado y asesorado por el doctor Jorge Andrés Ize Lamache, investigador del Instituto de Matemáticas-UNAM, desarrolló un modelo de Maxwell para intentar modelar el movimiento de los anillos de Saturno. “Hace 20 años comencé a utilizar técnicas avanzadas de topología, ecuaciones diferenciales no lineales, implementación numérica y pruebas asistidas por Computadora”.

Esta investigación derivó en una colaboración con el doctor Renato Calleja del departamento de Matemáticas y Mecánica del IIMAS para estudiar la continuación numérica de órbitas periódicas, gracias a esto publicó cinco artículos sobre dicha colaboración, actualmente ambos continúan explorando modelos matemáticos complejos que buscan entender fenómenos naturales con precisión inédita.

“Sin los principios de la mecánica celeste y las herramientas matemáticas que la humanidad ha desarrollado, sería imposible diseñar y colocar satélites en el espacio, lo cual afecta desde las telecomunicaciones hasta el control de sistemas de geolocalización,” explica García Azpeitia. Sin embargo, su motivación principal proviene de la “belleza de la mecánica celeste,” una disciplina que, a lo largo de la historia, ha inspirado a múltiples civilizaciones a observar y modelar el universo.

“He sido afortunado de trabajar con gente muy buena. Me da mucho gusto ver cómo ha evolucionado esta historia hasta su conclusión”, finaliza.

“Hoy en día, el análisis funcional no lineal sigue siendo crucial en la física y en la modelación de fenómenos complejos,” comenta García Azpeitia. Los cristales líquidos y los condensados de Bose-Einstein son sólo dos de las aplicaciones que han surgido a partir de principios matemáticos que, aunque pueden sonar abstractos, sostienen innovaciones en dispositivos tan comunes como las pantallas modernas.