Resumen
Las soluciones de muchas ecuaciones diferenciales parciales (EDP) exhiben comportamientos localmente drásticos,por ejemplo en forma de capas exponenciales o de singularidades de algunas derivadas. Dependiendo de la EDP, las capas exponenciales pueden causar que la solución tenga gradientes de magnitud grande o segundas derivadas de magnitud grande. En la plática presentaré algunos problemas sencillos de EDP cuyas soluciones tienen capas exponenciales. En casos particulares mostraré que las capas son funciones propias del operador diferencial asociadas al valor propio cero. Además, veremos que las condiciones de borde y parámetros de difusión cambian la manera en que las capas afectan a los gradientes o a las segundas derivadas de la solución de una EDP. Para aproximar soluciones los métodos numéricos (e.g. de diferencias finitas, elementos finitos y volumen finito) usan mallas (particiones) del dominio de la EDP. La calidad de la solución numérica (aproximación de la solución exacta) depende de la malla, ya que los cambios de gradientes de soluciones numéricas están limitados por propiedades de la malla usada. Por lo anterior, las propiedades de las capas permiten saber de antemano qué tan fina debe ser una malla usada por un método numérico para que este método pueda resolver la capa. Finalmente, muchas veces no es práctico resolver un problema con un método que usa una malla muy fina. Esto es una motivación para usar mallas (anisotrópicas) ajustadas a las capas y/o métodos que preservan localmente la difusión de la solución numérica.
Imparte
Dr. Andreas Wachtel
Departamento Académico de Matemáticas, ITAM